[转载]二分查找中的死循环

老师推荐我们看的,转载自二分查找中的死循环 – 小白菜又菜 – CSDN博客

二分算法是我们经常会用到的一个算法。它是分治法的一个应用。不过,虽然他写起来貌似很简单,但是却很容易写错。下面我们讨论一下二分的死循环问题。(这里讨论的是整数的二分问题,浮点数的二分不容易死循环)

1.查找的元素确定,值唯一或者不存在

这种情况等下,我们的流程分为三个分支:(相等、小于、大于)。这类不容易死循环,代码如下:

if ( data[mid] == key )
	return mid;
if ( data[mid] > key )
	r = mid-1;
else l = mid+1;

2.被查元素不确定,值可能有多个,找到第一个或者最后一个

这是最容易出现死循环的情况,也是本文讨论的核心。这种情况下,流程分成两个分支,我们分两种情况讨论:

a.取第一个小于key的元素:

if ( data[mid] >= key )
	r = mid-1;
else l = mid;

我们看式子 mid = (l+r)/2

  • 如果(l+r)为奇数,则
    • mid = (l+r)/2 = (l+r-1)/2 导出 2*mid = (l+r-1)/2*2 = l+r-1
    • 这时,若 mid = l 则“else l = mid;”这句代码就会就会进入死循环。
    • 所以这时使用 mid = (l+r+1)/2 代替 mid = (l+r+1)/2 就不会死循环了。
  • 如果(l+r+1)为偶数,则
    • mid = (l+r+1)/2 = (l+r)/2 导出 2*mid = (l+r)/2*2 = l+r 不会出现问题。
    • (这时使用 mid = (l+r)/2 也不会死循环)
  • 综上,这种情况下使用 mid = (l+r+1)/2 就不会死循环了,不过这不是通用式子,看b情况。
int bs( int l, int r, int key )
{
	while ( l < r ) {
		int mid = (l+r+1)/2;
		if ( data[mid] >= key )
			r = mid-1;
		else
			l = mid;
	}
	return l;
}

b.取第一个大于key的元素:

if ( data[mid] <= key )
	l = mid+1;
else r = mid;

我们看式子 mid = (l+r+1)/2

  • 如果(l+r+1)为奇数,则
    • mid = (l+r+1)/2 = 导出 2*mid = (l+r+1)/2*2 = l+r+1
    • 这时,若 mid = r 则“else r = mid;”这句代码就会就会进入死循环。
    • 所以这时要使用 mid = (l+r)/2 代替 mid = (l+r+1)/2 才不会死循环了。
  • 如果(l+r)为偶数,则
    • mid = (l+r)/2 导出 2*mid = (l+r)/2*2 = l+r不会出现问题。
    • (这时使用 mid = (l+r+1)/2 也不会死循环)
  • 综上,这种情况下使用 mid = (l+r)/2 就不会死循环了。
int bs( int l, int r, int key )
{
	while ( l < r ) {
		int mid = (l+r)/2;
		if ( data[mid] <= key )
			l = mid+1;
		else r = mid;
	}
	return r;
}

c.综合a、b得到结论取中值的计算方式与判断条件有关,下面加入一个小优化。

3.一步小优化,防止溢出

这里使用 mid = l+(r-l)/2 代替 mid = (l+r)/2 以及 mid = l+(r-l+1)/2 代替 mid = (l+r+1)/2。这样可以防止l+r和l+r+1溢出。下面证明两者的等价性。

  • a.l+r为奇数,则r-l为奇数,r-l+1为偶数
    • mid = l+(r-l+1)/2 = l*2/2 + (r-l+1)/2 = (l+r+1)/2
    • mid = l+(r-l)/2 = l*2/2 + (r-l-1)/2 = (r+l-1)/2 = (r+l)/2
  • b.l+r为偶数,则r-l为偶数,r-l+1为奇数
    • mid = l+(r-l+1)/2 = l*2/2 + (r-l)/2 =(l+r)/2 = (l+r+1)/2
    • mid = l+(r-l)/2 = l*2/2 + (r-l)/2 = (l+r)/2
  • c.综上所述上述替代成立。

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